Định nghĩa

Cho K là một trường vô hướng và A là một ma trận m × n, với các vectơ cột v1, v2, …, vn. Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trên là bất kỳ vectơ có dạng

c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n , {\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}

trong đó c1, c2, …, cn là các vô hướng. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1, …, vn gọi là không gian cột của A. Tức là không gian cột của A là span của các vectơ v1, …, vn.

Một tổ hợp tuyến tính bất kỳ của các vectơ cột của ma trận A có thể được viết dưới dạng tích của A với một vectơ cột như sau:

A [ c 1 ⋮ c n ] = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n ] [ c 1 ⋮ c n ] = [ c 1 a 11 + ⋯ + c n a 1 n ⋮ c 1 a m 1 + ⋯ + c n a m n ] = c 1 [ a 11 ⋮ a m 1 ] + ⋯ + c n [ a 1 n ⋮ a m n ] = c 1 v 1 + ⋯ + c n v n {\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}

Do đó, không gian cột của A gồm tất cả các tích Ax có thể có, với x ∈ Cn. Điều này tương đương với ảnh (hay miền giá trị) của biến đổi tuyến tính tương ứng với ma trận.

Ví dụNếu A = [ 1 0 0 1 2 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}} thì các vectơ cột là v1 = [1, 0, 2]T và v2 = [0, 1, 0]T.Một tổ hợp tuyến tính của v1 và v2 là bất kỳ vectơ có dạng c 1 [ 1 0 2 ] + c 2 [ 0 1 0 ] = [ c 1 c 2 2 c 1 ] {\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,} Tập hợp tất cả các vectơ có dạng trên là không gian cột của A. Trong trường hợp này, không gian cột chính là tập hợp các vectơ (x, y, z) ∈ R3 thỏa mãn phương trình z = 2x (sử dụng hệ tọa độ Descartes, có thể thấy tập hợp này là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong không gian ba chiều).

Cơ sở

Các cột của A sinh không gian cột, nhưng chúng có thể không tạo thành cơ sở nếu các vectơ cột không độc lập tuyến tính. Tuy vậy, các phép biến đổi hàng sơ cấp không ảnh hưởng đến quan hệ phụ thuộc giữa các vectơ cột. Vì thế ta có thể đơn giản hóa hàng để tìm cơ sở cho không gian cột.

Ví dụ, xét ma trận sau

A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.}

Các cột của ma trận này span không gian cột, nhưng chúng có thể không độc lập tuyến tính, khi đó một tập hợp con gồm một số trong chúng sẽ lập thành một cơ sở. Để tìm cơ sở, ta đơn giản ma trận A về dạng hàng bậc thang rút gọn:

[ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] ∼ [ 1 3 1 4 0 1 1 1 0 2 2 − 3 0 − 1 − 1 4 ] ∼ [ 1 0 − 2 1 0 1 1 1 0 0 0 − 5 0 0 0 5 ] ∼ [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}

Đến đây, có thể thấy rõ ràng là các cột thứ nhất, cột thứ hai và cột thứ tư là độc lập tuyến tính, trong khi cột thứ ba là một tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu. (Cụ thể là v3 = −2v1 + v2.) Vì vậy, các cột thứ nhất, thứ hai và thứ tư của ma trận ban đầu là cơ sở của không gian cột:

[ 1 2 1 1 ] , [ 3 7 5 2 ] , [ 4 9 1 8 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.}

Chú ý là các cột độc lập tuyến tính trong dạng hàng bậc thang rút gọn chính là các cột với phần tử chính. Vì thế có thể xác định các cột nào là độc lập tuyến tính chỉ bằng cách đưa ma trận về dạng bậc thang.

Thuật toán trên có thể được sử dụng để xét sự độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của một tập hợp vectơ bất kỳ và để chọn ra một cơ sở từ một hệ span. Ngoài ra, việc tìm cơ sở cho không gian cột của A tương đương với tìm cơ sở cho không gian hàng của ma trận chuyển vị của nó AT.

Trên thực tế (như đối với các ma trận cỡ lớn), để tìm cơ sở, người ta thường sử dụng phép phân tích giá trị suy biến.

Số chiều

Số chiều của không gian cột được gọi là hạng (rank) của ma trận. Hạng của ma trận bằng số vị trí chính trong dạng cột bậc thang rút gọn, cũng là số cột độc lập tuyến tính tối đa có thể được chọn ra từ ma trận. Ví dụ, ma trận 4 × 4 ở ví dụ trên có hạng bằng 3.

Vì không gian cột là ảnh của ma trận biến đổi tương ứng nên hạng của của ma trận bằng số chiều của ảnh. Ví dụ, biến đổi R 4 → R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}} biểu diễn bởi ma trận trên ánh xạ toàn bộ không gian R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} vào một không gian con ba chiều.

Số vô hiệu (nullity) của ma trận là số chiều của hạt nhân, và bằng số cột không có phần tử chính trong dạng hàng bậc thang rút gọn.[6] Hạng và số vô hiệu của một ma trận A với n cột được liên hệ bởi phương trình sau:

rank ⁡ ( A ) + nullity ⁡ ( A ) = n . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,}

Đây là định lý về hạng.

Liên hệ với hạt nhân trái

Hạt nhân trái của A là tập hợp các vectơ x sao cho xTA = 0T, cũng là hạt nhân của ma trận chuyển vị của A. Tích của ma trận AT và vectơ x có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:

A T x = [ v 1 ⋅ x v 2 ⋅ x ⋮ v n ⋅ x ] , {\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}

vì các vectơ hàng của AT là chuyển vị của các vectơ cột vk của A. Vì vậy ATx = 0 khi và chỉ khi x trực giao (vuông góc) với mỗi cột trong A.

Từ đó ta có hạt nhân trái (hay hạt nhân của AT) là phần bù trực giao của không gian cột của A.

Các không gian hàng, không gian cột, hạt nhân và hạt nhân trái là các không gian cơ bản của một ma trận.

Ma trận trên một vành

Tương tự, đối với một ma trận trên một vành K, ta có định nghĩa:

∑ k = 1 n v k c k {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}

cho bất kỳ các c1, …, cn, ở đây không gian vectơ m chiều được thay bằng "mô đun tự do phải", và đảo thứ tự trong phép nhân với vô hướng của vectơ vk với vô hướng ck (thứ tự là vectơ nhân vô hướng thay vì ngược lại như thường)